Mathematical Finance 입문

Mathematical Finance 입문 I
한창호 (경제학 박사)

 

이번 주에는 여러분에게 수리금융 분야에 관해서 그 입문 과정과 향후 이 분야 전공자들이 진출할 수 있는 영역과 역할에 대해서 소개하고자 합니다.

우선 이 분야에 입문하기 위해서는 어느 정도 수학적 기초 지식이 필요한데 집합론과 해석학이 필수적입니다. 그 다음으로 꼭 필요한 분야가 measure 이론에 중점을 둔 확률론에 대한 지식입니다. 이러한 지식들은 수리금융의 핵심적 도구인 Stochastic Calculus를 익히는데 필수적인 것들입니다. 수학과 출신인 사람들은 이러한 과목들을 대부분 이수하였을 것이므로 이 분야 입문에 큰 부담이 없을 것이지만 대부분의 사람들, 특히 사회과학도에게는 큰 부담이 될 것입니다.
 
이 분야에 속성으로 입문하고자 한다면 이런 복잡한 과정을 생략하고 경제나 경영학 배경을 지닌 사람들에게 적합한 금융공학 입문서나 수리금융 입문서 읽기를 권합니다.
 
추천할만한 금융공학 입문서는 다음과 같습니다.
 
(1) Keith Cuthbertson, Dirk Nitzsche (2001) Financial Engineering: Derivatives and Risk Management: Derivatives and Risk Management, John Wiley & Sons.
 
(2) John C. Hull (1999) Options, Futures & Other Derivatives, 6th ed., Prentice Hall.
 
이 두 권의 책은 금융공학 전반에 관한 기초 지식을 충실히 전달하고 있는데  (2)는 미국적 사항에 초점을 맞추어 서술했고 (1)은 최근에 나온 책으로 비교적 중립적 입장에서 서술한 책입니다. 이 두 권의 책을 통하여 수리 금융에 대한 기초지식뿐만 아니라 금융공학 전반에 걸친 원론적 지식을 습득할 수 있으므로 경제학이나 경영학적 배경이 탄탄하다면 꼭 읽어보기를 권합니다.

수학 전공자가 아닌 사람들에게 추천할만한 수리금융 분야의 입문서로는 다음의 책을 들 수 있습니다.
 
(3) Salih N. Neftci (2000) An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives, 2nd ed., Academic Press.
 
(4) Joseph Stampfli, Victor Goodman (2001) The Mathematics of Finance: Modeling and Hedging, Brooks/Cole.
 
(5) Paul Wilmott, Sam Howison, Jeff Dewynne (1996), The Mathematics of Financial Derivatives: A Student Introduction, reprinted, Cambridge.
 
(3)은 수학을 전공하지 않은 사람이 수리금융에 손쉽게 접근할 수 있는 아주 좋은 입문서일 뿐만이 아니라 금융공학의 기초 지식을 잘 전달하고 있습니다. (4)는 아주 초보적인 수학만을 사용하여 수리금융의 거의 모든 분야를 다루고 있는 책입니다. 내용의 전달방법이 대단히 우수한 책입니다. (5)는 WallStreet에서 Trader들의 훈련 교재로 자주 쓰이는 책입니다. 실용적 기초 지식을 잘 전달하고 있지만 다소간의 수학적 기초 지식이 요구됩니다.
 
다음 번에는 수리 금융의 핵심적 도구로 사용되고 있는 Stochastic Calculus입문에 대해 설명하겠습니다.

 

Mathematical Finance 입문 II

 
수리금융 분야에 본격적으로 입문하기 위해서는 Stochastic Calculus를 익혀야 하는데 이 분야의 학습을 위해서는 Measure Theory 에 기초한 탄탄한 확률론 지식이 요구됩니다. 이러한 기초 지식을 습득하기 위해서는 수학과 학부 수준의 집합론과 해석학(mathematical analysis) 지식이 필요하며 대학원 수준의 실해석학(real analysis) 수업을 들었다면 금상첨화입니다.
 
Measure theory 에 기초한 확률론의 고전적 명저로 다음의 두 권의 책을 들 수 있습니다.
 
(6) Robert B. Ash (1972) Real Analysis and Probability, Academic Press.
 
(7) Patrick Billingsley (1995) Probability and Measure,  3ed., John Wiley & Sons.
 
비교적 최근에 발간된 책으로 Stochastic Calculus 학습에 좀 더 적합한 기초 이론을 잘 정돈한 확률론 책으로는 다음을 추천합니다.
 
(8) Sidney I. Resnick (1998) A Probability Path, Birkhauser.
 
이 책은 (6)과 (7)의 장점들만을 합쳐둔 책입니다.
 
확률론 분야의 고전적 명저로 다음의 책은 읽기도 수월하고 확률론의 가장 근원적인 질문들을 잘 정리하고 있어서 꼭 한번 읽어 볼 것을 추천합니다.
 
(9) Kai Lai Chung (2001) A Course in Probability Theory, 3rd ed., Academic Press.
 
그러나, 대부분의 사람들은 이러한 기초지식을 충분히 연마할 시간적 여부가 없을 것이며 아마도 수리금융의 첫 장을 열기도 전에 지레 겁을 먹고 포기하고 말 것 같아 좀 더 손쉬운 입문 방법을 소개하겠습니다.
 
(10) Marek Capinski, Ekkehard Kopp (1999) Measure, Integral and Probability, Springer Verlag.
 
(11) Zdzislaw Brzezniak, Tomasz Zastawniak (1998) Basic Stochastic Processes, Springer Verlag.
 
(12) Jean Jacod, Philip Protter (2000) Probability Essentials, Springer Verlag.
 
이 세 권의 책은 각각 200여 페이지 남짓하지만 Stochastic Calculus를 습득하는 데 가장 핵심적인 기초 지식들만을 간추려 둔 것들입니다. 시간의 제약을 심각하게 받고 있다면 (10) 이라도 꼭 읽어 볼 것을 권합니다. 2주 정도면 충분히 소화할 수 있을 것입니다.
 
이러한 준비들을 마치면 본격적으로 Stochastic Calculus를 습득할 준비가 된 상태입니다. 아마도 Stochastic Calculus의 가장 유명한 입문서 중의 하나는 다음일 것입니다.
 
(13) Bernt Oksendal (1998) Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, 6th ed., Springer Verlag.
 
다음의 책은 대부분의 수리금융 분야의 논문이나 책에서 Stochastic Calculus 분야의 reference로 언급되고 있는 명저인데 수리금융 분야를 본격적으로 공부하고 싶다면 반드시 읽어야 될 책입니다.
 
(14) Ioannis Karatzas, Steven E. Shreve (1991) Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed., Springer Verlag.
 
비교적 최근에 출간된 책으로 수리금융 분야의 응용에 초점을 맞춰 읽기가 수월하게 편집된 다음의 책들도 있습니다.
 
(15) Thomas Mikosch (1998) Elementary Stochastic Calculus: with Finance in View, World Scientific.
 
(16) Fima C. Klebaner (1998) Introduction to Stochastic Calculus with Applications, Imperial College Press.
 
Stochastic Calculus 분야에 대한 수학적인 완성도를 높이고 싶다면 최근에 출간된 다음의 책이 상당히 도움이 될 것입니다. 그러나, 이 책은 확률론에 대한 기초가 탄탄하지 않다면 읽기가 꽤 힘이 듭니다.
 
(17) Richard Durrett (1996) Stochastic Calculus: A Practical Introduction, CRC
 
수리금융 분야의 복잡한 증명들은 대부분 다음의 책에서 그 해답을 구할 수 있는데, 방대하고 까다로운 부분이 많아 수학적으로 상당한 훈련이 되어 있지 않다면 읽기가 어렵지만 참고서적으로는 대단히 유용합니다.
 
(18) Daniel Revuz, Marc Yor (1994) Continuous Martingales and Brownian Motion, 2nd ed., Springer Verlag.
 
(19) L. C. G. Rogers, David Williams (1994) Diffusions, Markov Processes and Martingales, Volume One: Foundations, 2nd ed., John Wiley & Sons.
 
(20) L. C. G. Rogers, David Williams (1987) Diffusions, Markov Processes and Martingales, Volume Two: Ito Calculus, John Wiley & Sons.
 
(21) David Williams (1991) Probability with Martingales, Cambridge.
 
수리금융을 제대로 습득하기 위해서는 상당 기간에 걸친 준비가 필요하며 하면 할수록 어려움에 부딪히는 부분이 한 둘이 아닙니다. 그러나, 한가지 명심해야 할 사실은 이는 한 과정에 불과하지 최종 목적지가 아니므로 중도에서 포기하지 말아달라는 것입니다. 모두가 다 수학적으로 완벽한 준비를 갖출 수는 없습니다.
 
다음 글에서는 수리금융 입문서에 대해서 설명하겠습니다.

 

 

Mathematical Finance 입문 III 

 
혹시나 여러분들 중에서 Stochastic Calculus를 준비하느라 지쳐서 아예 이 분야를 포기하지나 않았나 걱정이 되어서 다시 말씀 드리자면 수리금융의 전문가가 되기 위해서 반드시 수학 전문가가 될 필요는 없다는 것입니다. 엄밀히 말해서 수리금융에 있어서 수학은 하나의 도구일 뿐 진정 필요한 것은 이 분야를 배우고자 하는 여러분들의 불타는(?) 의지입니다.
 
수리금융 입문서에는 크게 두 부류가 있습니다. 하나는 응용수학 전문가들이 수학적 엄밀성에 기초하여 모형의 완결성에 치중하는 것이고 다른 하나는 경제학자나 경영학자들이 모형의 아이디어에 대한 설명과 해석에 치중하는 것입니다. 최근에 발간된 책들은 정통 수리금융학 전문가들에 의한 저술로 이 두 분야가 균형을 잡아가고 있습니다 .
 
Stochastic Calculus 에 대한 기초가 탄탄한 사람들에게 추천하고 싶은 수리금융 입문서는 다음입니다.
 
(22) D. Lamberton, B. Lapeyre (1996) Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance, Chapman & Hall.
 
각종 예제를 통하여 자신이 익힌 Stochastic Calculus 가 어떻게 수리금융에 응용되는가에 흥미를 지닌 사람들, 특히 수학적 엄밀성보다 모형의 아이디어와 해석에 더 관심을 지닌 사람들이라면 다음 책이 도움이 될 것입니다.
 
(23) David C. Shimko (1992) Finance in Continuous Time: A Primer, Kolb.
 
수리금융의 모형은 크게 Continuous Time 모형과 Discrete Time 모형으로 대별되는데 이 양자를 어떻게 연결시키느냐가 수리금융의 이론 전개에 있어서 대단한 중요성을 지닙니다. 입문 과정에서 한번쯤 이에 대해서 심각하게 고민해본다면 큰 도움이 될 것입니다. 적절한 참고서적은 다음의 두 권입니다.
 
(24) Stanley R. Pliska (1997) Introduction to Mathematical Finance: Discrete Time Models, Blackwell.
 
(25) Tomas Bjork (1998) Arbitrage Theory in Continuous Time, Oxford.
 
다음으로 수학자들이 저술한 수리 금융 서적 몇 권을 소개하겠습니다.
 
(26) Ioannis Karatzas, Steven E. Shreve (1998) Methods of Mathematical Finance, Springer Verlag.
 
(27) Marek Musiela, Marek Rutkowski (1997) Martingale Methods in Finance Modelling, Springer Verlag.
 
(28) Albert N. Shiryaev (1999) Essentials of Stochastic Finance, Fact, Models, Theory, World Scientific.
 
(29)Robert J. Elliott, P. Ekkehard Kopp (1998) Mathematics of Financial Markets, Springer Verlag.
 
(30) J. Michael Steele (2000) Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer Verlag.
 
(26), (27) 은 너무나 유명한 수리금융 교과서라 이 분야를 공부하는 사람들이라면 수없이 듣게 될 것입니다. (26)은 금융시장 모형에 (27)은 금융상품 모형에 특화되어 있습니다. (28)은 금융수학의 마치 백과사전 같은 책입니다. (29), (30) 은 추상적 금융수학 이론을 어떻게 전개해나가야 하는지를 잘 설명하고 있습니다.
 
다음의 두 권은 경제학자와 금융상품 전문가에 의한 저술인데 금융수학 이론의 아이디어와 경제학적 해석이 두드러진 책입니다.
 
(31) Y. K. Kwok (1998) Mathematical Models of Financial Derivatives, Springer Verlag.
 
(32) N. H. Bingham, Rudiger Kiesel (1998) Risk-Neutral Valuation: Pricing and Hedging of Financial Derivatives, Springer Verlag.
 
다음 두 권은 금융공학자들에 의한 저술로 수학과 금융공학의 적절한 안배와 균형이 두드러진 책으로 수리금융 교재로 가장 추천하고 싶은 책들입니다.
 
(33) P. J. Hunt, J. E. Kennedy, Financial